Question

【题目】如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由正方形的性质得出，由平面得出，进而可推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；

（Ⅱ）取的中点，连接、，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角的余弦值.

（Ⅰ）是正方形，，

平面，平面，

、平面，且，平面 ，

又平面，平面平面；

（Ⅱ）取的中点，连接、，

是正方形，易知、、两两垂直，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

在中，，，，

、、、，

设平面的一个法向量，，，

由，得，令，则，，.

设平面的一个法向量，，，

由，得，取，得，，得.

，

二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.