题目内容

若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，当且仅当
a
x
=
b
y
时取等号．利用以上结论，函数f（x）=
2
x
+
9
1-2x
（x∈（0，
1
2
））取得最小值时x的值为（　　）
A、1
B、
1
5
C、2
D、
1
3
分析：由“
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
”可得f（x）=
22
2x
+
32
1-2x
≥
(2+3)2
2x+(1-2x)
，再由取得等号的条件，求最小值．
解答：解析：由
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y

得：f（x）=
22
2x
+
32
1-2x
≥
(2+3)2
2x+(1-2x)
=25．
当且仅当
2
2x
=
3
1-2x
时取等号，
即当x=
1
5
时f（x）取得最小值25．
故选B．
点评：本题主要考查用基本不等式求函数最值问题，关键是基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等．
练习册系列答案
相关题目
若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，当且仅当
a
x
=
b
y
时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)=
2
x
+
9
1-2x
（x∈(0，
1
2
)）的最小值为
 
，取最小值时x的值为
 
．
若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，当且仅当
a
x
=
b
y
时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)=
2
x
+
9
1-2x
（x∈(0，
1
2
)）的最小值为
 
．
（2012•湖南模拟）选做题（请考生在第16题的三个小题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分，要写出必要的推理与演算过程）
（1）如图，已知Rt△ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，试求BD的长．
（2）已知曲线C的参数方程为
x=1+cosθ
y=sinθ
（θ为参数），求曲线C上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值．
（3）若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，当且仅当
a
x
=
b
y
时上式取等号．请利用以上结论，求函数f（x）=
2
x
+
9
1-2x
（x∈0，
1
2
）的最小值．
若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则+≥，当且仅当=时取等号．利用以上结论，函数f（x）=+（x∈（0，））取得最小值时x的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．

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