Question

（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；
（2）若三角形有一个内角为，周长为定值p，求面积S的最大值；
（3）为了研究边长a，b，c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（a+b）²-c²][c²-（a-b）²]=-c⁴+2（a²+b²）c²-（a²-b²）²=-[c²-（a²+b²）]²+4a²b²
而-[c²-（a²+b²）]²≤0，a²≤81，b²≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c²=a²+b²，a=9，b=8，于是c²=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．
以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．
（注：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）

Answer 1

【答案】分析：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，由勾股定理和二次函数的性质求出y的最小值，即得周长p的
最小值．
（2）根据周长p=，利用基本不等式求得 ，再由S==，求得面积S的最大值．
（3）不正确，由海伦公式化简可得16S²=-[a²-（b²+c²）]²+4b²c² ，而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，
则S≤16，故当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值16．
另解：．
解答：解：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，则，
∴两直角边长为6时，周长p的最小值为．
（2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为，则周长p=，
∴，即．
又S=，∴为．
（3）不正确．16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）²-a²][a²-（b-c）²]
=-a⁴+2（b²+c²）a²-（b²-c²）² =-[a²-（b²+c²）]²+4b²c²
而-[a²-（b²+c²）]²≤0，b²≤64，c²≤16，则S≤16，
其中等号成立的条件是 a²=b²+c²，b=8，c=4，则．
∴当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值16．
（ 另解：）
点评：本题考查基本不等式，反余弦函数的定义，海伦公式的应用，三角形中的几何计算，属于中档题．