Question

已知数列a_n，a₁、a₂、…、a₁₀是首项为1公差为1的等差数列，a₁₀、a₁₁、…、a₂₀是公差为d（d≠0）的等差数列，a₂₀、a₂₁、…、a₃₀是公差为d²的等差数列，…．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）求a₃₀的取值范围；
（3）设k∈N^*，求数列a_n前10k项的和S．

Answer 1

分析：（1）利用a₂₀=a₁₀+10d和a₁₀的值求得数列的公差d．
（2）利用a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）整理才关于d的一元二次函数，利用二次函数的性质求得a₃₀的取值范围；
（3）依题意可分别取得前10项的和，第2个10项的表达式，和第3个10项的表达式，进而可知每10项构成的数列的和为等比数列和等差数列的复合数列，进而分别看d=1和d≠1利用等差数列的求和公式和等比数列的求和公式求得答案．

解答：解：（1）依题意，a₁₀=10，a₂₀=a₁₀+10d=40，解得d=3．
（2）a30=a20+10d2=10(1+d+d2)=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]≥

15

2

．
（3）前10项的和

1

=1+2++10=55，
第2个10项的和

2

=(10+d)+(10+2d)++(10+10d)=100+55d，
第3个10项的和

3

=(10+10d+d2)+(10+10d+2d2)++(10+10d+10d2)=100(1+d)+55d2，
d≠1时S=55(1+d+d2++dk-1)+

100

1-d

[(1-d)+(1-d2)++(1-dk-1)]=

55(1-dk)

1-d

+

100

1-d

(k-

1-dk

1-d

)；
d=1时S=55+155+255++[（k-1）×100+55]=5k（10k+1）．
即S=

55(1-dk) 1-d + 100 1-d (k- 1-dk 1-d )，d≠1 5k(10k+1)，d=1

．

点评：本题主要考查了等差数列的性质．这是一个分段等差的数列，解题关键是“分”与“合”的转换、代数运算．