题目内容
正三棱台的上、下底边长为2和4.(Ⅰ)若该正三棱台的高为 1,求此三棱台的侧面积
(Ⅱ)若侧面与底面所成的角是60°,求此三棱台的体积;
参考公式:台体的体积公式V台体=


【答案】分析:(Ⅰ)取A1B1,AB中点D1,DO1,O分别为△A1B1C1,△ABC的中心,过D1作D1M⊥DC,利用三棱台的侧面积公式,即可求得结论;
(Ⅱ)确定台体的高,再确定上、下底的面积,即可求此三棱台的体积.
解答:
解:(Ⅰ)取A1B1,AB中点D1,D,O1,O分别为△A1B1C1,△ABC的中心,过D1作D1M⊥DC,则D1C1=
,DC=2
,从而D1O1=
,DO=
,
∴DM=
,
∵D1M=1,∴D1D=
∴S侧=3×
=6
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在直角△D1DM中,∠D1DM=60°,即侧面与底面所成的角,故台体的高为1,
∵正三棱台的上、下底边长为2和4
∴S△A1B1C1=
,S△ABC=4 
∴V台=
×1×(
+
+4
)=
.
点评:本题考查求此三棱台的侧面积、体积,考查学生的计算能力,属于中档题.
(Ⅱ)确定台体的高,再确定上、下底的面积,即可求此三棱台的体积.
解答:





∴DM=

∵D1M=1,∴D1D=

∴S侧=3×


(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在直角△D1DM中,∠D1DM=60°,即侧面与底面所成的角,故台体的高为1,
∵正三棱台的上、下底边长为2和4
∴S△A1B1C1=


∴V台=





点评:本题考查求此三棱台的侧面积、体积,考查学生的计算能力,属于中档题.

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