Question

（1）若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（-b，a）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+y²=1在矩阵N=所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于两点A和B，求|AB|；
（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C₁的极坐标方程为：，曲线C₂的参数方程为：（θ为参数），试求曲线C₂关于直线C₁对称的曲线的直角坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x、y、z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）求出矩阵的行列式，从而可得矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）设（x′，y′）在矩阵N=所对应变换的作用下的点为（x，y），从而可得坐标之间的关系，代入x²+y²=1，即可得结论；
（2）（Ⅰ）求出直线和圆的直角坐标方程、圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理，可得结论；
（Ⅱ）求出直线C₁的直角坐标方程；曲线C₂的普通方程，从而可求曲线C₂关于直线C₁对称的曲线的直角坐标方程；
（3）（Ⅰ）条件可转化为m≤2（|x-7|+|x+3|），由绝对值不等式的性质可得实数m的取值范围；
（Ⅱ）由柯西不等式可得[]≥x+y+z，由此可得结论．
解答：解：（1）（Ⅰ）∵矩阵M=，∴矩阵的行列式为=1≠0
∴；
（Ⅱ）设（x′，y′）在矩阵N=所对应变换的作用下的点为（x，y），则
=，∴
代入x²+y²=1，可得4x²+y²=1；
（2）（Ⅰ）直线和圆的直角坐标方程分别为y=x和（x-1）²+（y-2）²=5，则圆心为C（1，2），半径R=
从而C到直线y=x的距离d==
由垂径定理得|AB|=2=3
（Ⅱ）直线C₁的极坐标方程为：，直角坐标方程为x+y=2；曲线C₂的参数方程为：（θ为参数），普通方程为：（x-1）²+（y-3）²=1，圆心坐标为（1，3），半径为1
圆心坐标为（1，3）关于x+y=2对称点的坐标为（1，-1），
∴曲线C₂关于直线C₁对称的曲线的直角坐标方程为（x+1）²+（y-1）²=1；
（3）（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，即m≤2（|x-7|+|x+3|）
由绝对值不等式的性质可得2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20
∴实数m的取值范围为（-∞，20]；
（Ⅱ）由柯西不等式可得[]≥x+y+z
∵2x²+3y²+6z²=a（a＞0），∴a≥（x+y+z）²，
∵x+y+z的最大值是1，∴a=1，
当2x=3y=6z时，x+y+z取最大值，∴a=1．
点评：本题考查选修知识，考查矩阵与变换，考查坐标系与参数方程，考查不等式选讲，综合性强．