Question

已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足．
（I）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动点M的轨迹为C，如果过定点A（x，y）的直线与曲线C相交不同的两点S、R，求证：曲线C在S、R两点处的切线的交点在一条定直线上．

Answer 1

【答案】分析：（I）设P（a，0），Q（0，b）（b＞0），M（x，y）．利用，即可得到a，b的关系，再利用，即可用x，y表示a，b，进而得到点M的轨迹方程．
（II）解法一：设，即得直线SR的方程，又A点在SR上，即可得到①
对求导得：．即可得到抛物线上S、R处的切线方程，联立解得x，y代入①得即可．
解法二：当过点A的直线斜率不存在时与题意不符．设直线SR的方程为y-y=k（x-x），与抛物线方程联立即可得到根与系数的关系．设，由过S，R点的切线方程联立可得交点的坐标，再利用根与系数的关系，即可得出．
解答：解：（I）设P（a，0），Q（0，b）（b＞0），
∵，
∴，
∴a²=3b，

∴
∴
点M的轨迹方程为．
（II）解法一：设，
则直线SR的方程为：
即．
∵A点在SR上，
∴①
对求导得：．
∴抛物线上S、R处的切线方程为：②
③
联立②③，并解之得代入①得
，
故切线的交点在定直线xx-2y=2y=0上．
解法二：当过点A的直线斜率不存在时与题意不符．设直线SR的方程为y-y=k（x-x）
代入抛物线方程得x²-4kx+4xk-4y=0．
设
由韦达定理（*）
又过S，R点的切线方程分别是：
∴，
代入（*）得，
消去k，得xx-2y-2y=0
故切线的交点在定直线xx-2y-2y=0上．
点评：熟练掌握向量的运算、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、导数的几何意义、切线方程等是解题的关键．