Question

在(

x

+

2

x2

)n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为

1

16

．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）展开式的哪几项是有理项（回答项数即可）；
（Ⅲ）求出展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令r 分别为2，n-2得到第3项的系数与倒数第3项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值．
（II）利用（I）的结果代入展开式的通项，令x的指数为整数，求出r的值得到展开式的有理项．
（III）设出展开式的系数最大的项，令其系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项的系数，列出不等式组，求出展开式中系数最大的项．

解答：解：（Ⅰ）(

x

+

2

x2

)n展开式的通项为Tr+1=2r

C

r n

x

n-5r

2

令r=2得展开式第3项的系数为2²C_n²=4C_n²，
令r=n-2得倒数第3项的系数是 2^n-2C_n^n-2=2^n-2C_n²
所以有16×4C_n²=2^n-2C_n²：，
解得n=8；
（Ⅱ）当 n=8时，展开式的通项为Tr+1=2r

C

r 8

x

8-5r

2

要为有理项则

8-5r

2

 为整数，此时 r可以取到0，2，4，6，8，
所以有理项分别是第1项，第3项，第5项，第7项，第9项；
（Ⅲ）设第 k项系数的最大，
∴

2k C k 8 ≥2k+1 C k+1 8 2k C k 8 ≥2k-1 C k-1 8

，
解得k=6或7，
故系数的最大的项是第6项和第7项，
∴分别展开式中系数最大的项为T₆=25

C

5 8

x-

17

2

=1792x-

17

2

，T₇=1792x^-11

点评：解决二项展开式的特定项问题，一般利用二项展开式的通项公式作为工具；解决二项展开式的项的系数和问题，常设出最大的系数的项，然后令其系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项的系数．