题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,
恒成立,求
的取值范;
(2)若函数有两个极值点
,且
,求证:
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】分析:(1) )当时,
恒成立即求
的最小值大于等于零即可求出求
的取值范围;(2)
,令
,对a分类讨论,只有
时满足题意,易知
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
,构造新函数
研究最值即可.
详解:(1)【解法一】
,
设
①时,
在
上单调递减,
,不合题意,舍;
②当时,
(i)若,即
时,当
在
上单调递增,
,符合题意;
(ii)若,即
时,当
时,
单调递减:当
时,
,
单调递增;
,不合题意,舍;
综上:;
【解法二】
若,而
,不合题意,故
;
易知: ,
,
设,
,
若,即
时,
在
上单调递增,
,
在
上单调递增,
,符合题意;
若,即
时,
在
上是单调递增函数,
令,记
,当
时,
,
在
上是单调递减函数,
,
在
上是单调递减函数,
,不合题意:
综上: ;
(2)【解法一】
,
,
设,
若,
,
在
上单调递增,不合题意:当
时,
,
在
上只有一个根,不合题意:
当时,
,要使方程
有两个实根
,
只需即
,
,
,
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增;
在
处取得极大值,在
处取得极小值,符合题意;
设,
,
,
在
上是增函数,
.
【解法二】
,
,
设,
若,
,
在
上单调递增,不合题意;
当时,
,
在
上只有一个根,不合题意;
当时,
,要使方程
有两个实根
,
只需,即
,
,
,
在
上单调递增,在
单调递减,在
上单调递增;
在
处取最大值,在
处取最小值,符合题意;
,
设,则
,
,
设
,
,
在
单调递增,
.

【题目】新一届中央领导集体非常重视勤俭节约,从“光盘行动”到“节约办春晚”.到饭店吃饭是吃光盘子或时打包带走,称为“光盘族”,否则称为“非光盘族”.政治课上政治老师选派几位同学组成研究性小组,从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取人进行了一次调查,得到如下统计表:
组数 | 分组 | 频数 | 频率 | 光盘族占本组比例 |
第1组 | [25,30) | 50 | 0.05 | 30% |
第2组 | [30,35) | 100 | 0.10 | 30% |
第3组 | [35,40) | 150 | 0.15 | 40% |
第4组 | [40,45) | 200 | 0.20 | 50% |
第5组 | [45,50) | a | b | 65% |
第6组 | 200 | 0.20 | 60% |
(1)求的值,并估计本社区[25,55)岁的人群中“光盘族”所占比例;
(2)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动,并从这8人中选取2人作为领队.求选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率.