题目内容

设A是单位圆上任意一点,是过点轴垂直的直线,是直线轴的交点,点在直线上,且满足,当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线

(1)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。

(2)过原点斜率为的直线交曲线两点,其中在第一象限,且它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点,是否存在,使得对任意的,都有?若存在,请说明理由。

 

【答案】

 (1)两焦点坐标分别为

(2)

【解析】本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求。

(Ⅰ)如图1,设,则由

可得,所以.            ①

因为点在单位圆上运动,所以.                  ②

将①式代入②式即得所求曲线的方程为.        

因为,所以当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为;当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为.

(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,则

直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得

.

依题意可知此方程的两根为,于是由韦达定理可得,即.因为点H在直线QN上,所以.

于是.     

等价于,即,又,得

故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.

 

解法2:如图2、3,,设,则

因为两点在椭圆上,所以 两式相减可得

.                          ③             

依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且不重合,

. 于是由③式可得

.                              ④

三点共线,所以,即.                

于是由④式可得.

等价于,即,又,得

故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.

【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

 

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