题目内容
设A是单位圆上任意一点,
是过点
与
轴垂直的直线,
是直线
与
轴的交点,点
在直线
上,且满足
,当点
在圆上运动时,记点
的轨迹为曲线
。
(1)求曲线的方程,判断曲线
为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。
(2)过原点斜率为的直线交曲线
于
两点,其中
在第一象限,且它在
轴上的射影为点
,直线
交曲线
于另一点
,是否存在
,使得对任意的
,都有
?若存在,请说明理由。
(1)两焦点坐标分别为,
(2)
【解析】本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求。
(Ⅰ)如图1,设,
,则由
,
可得,
,所以
,
. ①
因为点在单位圆上运动,所以
. ②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为
.
因为,所以当
时,曲线
是焦点在
轴上的椭圆,两焦点坐标分别为
,
;当
时,曲线
是焦点在
轴上的椭圆,两焦点坐标分别为
,
.
(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设
,
,则
,
,
直线的方程为
,将其代入椭圆
的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为,
,于是由韦达定理可得
,即
.因为点H在直线QN上,所以
.
于是,
.
而等价于
,即
,又
,得
,
故存在,使得在其对应的椭圆
上,对任意的
,都有
.
解法2:如图2、3,,设
,
,则
,
,
因为,
两点在椭圆
上,所以
两式相减可得
.
③
依题意,由点在第一象限可知,点
也在第一象限,且
,
不重合,
故. 于是由③式可得
.
④
又,
,
三点共线,所以
,即
.
于是由④式可得.
而等价于
,即
,又
,得
,
故存在,使得在其对应的椭圆
上,对任意的
,都有
.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.
