Question

已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点，可得b²=3，又F（1，0），可得c=1，从而可得a²=b²+c²=4，故可求椭圆C的方程；
（2）l与y轴交于，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，故△=144（m²+1）＞0，利用韦达定理可得，根据，可得，同理，从而可求λ₁+λ₂的值．
解答：解：（1）抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点
∴，∴b²=3，
又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4．
∴椭圆C的方程为．
（2）l与y轴交于，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，故△=144（m²+1）＞0．
∴，
∴．
又由，得．
∴．
同理．
∴．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理解题．