Question

n²（n≥4）个正数排成如右表所示的n行n列：

a11，a12，a13，…，a1n a21，a22，a23，…，a2n …，…，…，… … an1，an2，an3，…，ann

，其中第一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均相等．若已知a42=

1

4

，a43=

3

8

，a24=2，则a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn=

4-

4+2n

2n

．

Answer 1

分析：设出a₁₁，第一行数的公差，第一列数的公比，求出表中通项a_st，据通项及条件，即可求得首项、公差、公比，进而可求出a_kk，再利用错位相减法求出数列的和．

解答：解：设a₁₁=a，第一行数的公差为d，第一列数的公比为q，可得a_st=[a+（t-1）d]q^s-1，第四行数列公差是dq³，
于是可得 a₂₄=（a₁₁+3d）q=2，a₄₂=（a₁₁+d）q³=

1

4

，a₄₃=a₄₂+dq³=

3

8

，解得a₁₁=d=1，q=

1

2

，
于是对任意的1≤k≤n，有a_kk=a_1kq^k-1=[a₁₁+（k-1）d]q^k-1=

k

2k-1

∴S=

1

20

+

2

21

+…+

n

2n-1

又

1

2

S=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

两式相减后得：

1

2

S=1+

1

21

+…+

1

2n-1

-

n

2n

∴S=4-

4+2n

2n

．

点评：本题考查归纳推理，考查求数列的前n项和，数列的通项，根据数列通项的特点选择合适的求和方法是关键．