题目内容

坐标系与参数方程选讲．
已知曲线C：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．
（1）将C参数方程化为普通方程；
（2）若把C上各点的坐标经过伸缩变换
x′=3x
y′=2y
后得到曲线C′，求曲线C′上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．
分析：（1）将两式平方相加，消去参数，可得C的普通方程；
（2）C经过伸缩变换
x′=3x
y′=2y
后，可得
x′=3cosθ
y′=2sinθ
（θ为参数），从而可求曲线C′上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．
解答：解：（1）将两式平方相加，消去参数，可得C的普通方程为x2+y2=1．
（2）C经过伸缩变换
x′=3x
y′=2y
后，可得
x′=3cosθ
y′=2sinθ
（θ为参数），
∴|x'y'|=|6sinθ•cosθ|=|3sin2θ|≤3，
∴曲线C′上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3．
点评：本题重点考查参数方程化为普通方程，考查伸缩变换，考查三角函数的值域，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：
x=2t
y=1+4t
（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2
2
sinθ，则直线l与圆C的位置关系为
 
．
（2012•吉林二模）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：
x=t
y=1+2t
（t为参数），在以O为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)．
（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．
（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C的参数方程为
x=cosθ
y=sinθ+2
（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是
2
2
．
（2011•晋中三模）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为：
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数），把曲线c1上所有点的纵坐标压缩为原来的一半得到曲线c2，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2
ρcos(θ-
π
4
)=4．
（1）求曲线c2的普通方程，并指明曲线类型；
（2）过（1，0）点与l垂直的直线l1与曲线c2相交与A、B两点，求弦AB的长．
选修4-4：坐标系与参数方程选讲．
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为
x=5+
3
2
t
y=
1
2
t
（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

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