题目内容

如图为三角函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0， $数学公式$ ）图象的一段．
（1）求函数的解析式及 $数学公式$ 的值；
（2）如果函数y=f （x）-m在（ $数学公式$ ， $数学公式$ ）内有且仅有一个零点，求实数m的取值范围．

解：（1）由题意与图象可知A=2，T=2×（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，所以ω= $\text{[math]}$ =4．
曲线经过（ $\text{[math]}$ ）所以0=2sin（4× $\text{[math]}$ +φ）， $\text{[math]}$ ，
φ=- $\text{[math]}$ ，
三角函数f（x）=2sin（4x $\text{[math]}$ ）．
f（ $\text{[math]}$ ）=2sin（4× $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）=2sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ -2cos $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）x∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），所以 $\text{[math]}$ ，
函数y=f （x）-m在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）内有且仅有一个零点，
即方程2sin（4x $\text{[math]}$ ）=m在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）内有且仅有一个根，
所以 $\text{[math]}$ ，函数只有一个零点，此时m=-2；
$\text{[math]}$ 时函数也只有一个零点，此时-1≤m＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过函数的图象，求出A，T得到ω，利用图象经过（ $\text{[math]}$ ），求出φ即可得到函数的解析式，然后利用两角差的正弦函数求出 $\text{[math]}$ 的值；
（2）函数y=f （x）-m在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）内有且仅有一个零点，转化方程只有一个根，即可求实数m的取值范围．
点评：本题考查函数解析式的求法，函数的零点与方程的根，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．