Question

2010年11月在广州召开亚运会，某小商品公司开发一种亚运会纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含量提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y（元）．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．

Answer 1

分析：（1）确定改进工艺后，每件产品的销售价，月平均销售，可得月平均利润函数；
（2）求导函数，确定函数的极值，可得最值，即可得到结论．

解答：解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x）元，月平均销售a（1-x²）件，
则月平均利润y=a（1-x²）[20（1+x）-15]=5a（1+4x-x²-4x³）（0＜x＜1）；
（2）求导数可得，y′=5a（4-2x-12x²）（0＜x＜1）
令y′=0可得x=

1

2

或x=-

2

3

（舍去）
当0＜x＜

1

2

时，y′＞0；当

1

2

＜x＜1时，y′＜0，
∴x=

1

2

时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为

45

4

a
∴改进工艺后，纪念品的售价为20（1+

1

2

）=30，该公司销售该纪念品的月平均利润最大为

45

4

a．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，确立函数模型是关键．