题目内容
(本题满分12分)
设函数,
(1) 如果且对任意实数均有,求的解析式;
(2) 在(1)在条件下, 若在区间是单调函数,求实数的取值范围;
(3) 已知且为偶函数,如果,求证:.
【答案】
(1);(2)的取值范围是;
(3) .
【解析】
试题分析: (1) 根据二次函数的函数值f(1)=0和函数值恒大于等于零得到及解析式。
(2) 在(1)在条件下,要是函数单调递增,则根据对称轴与定义域的关系分类讨论得到。
(3) 结合奇偶性的性质,以及函数单调性得到不等式的证明。
解(1)∵,∴(1分)
对任意实数均有恒成立,
即对任意实数均有恒成立(2分)
当时,,这时,,它不满足恒成立(3分)
当时,则且
,(4分)
从而,∴(5分)
(2)由(1)知
∴=(6分)
在区间是单调函数
或,即或
的取值范围是(7分)
(3) ∵是偶函数,∴(8分)
故, (9分)
∵,∴当时
中至少有一个正数,即都是正数或一个正数,一个负数
若都是正数,则,所以(10分)
若一个正数,一个负数,不妨设,又
则=(11分)
综上可得,.(12分)
考点:本题主要考查了二次函数与分段函数的性质运用。
点评:解决该试题的关键是能通过解析式的特点以及二次函数的性质,来得到判别式小于等于零,从而得到解析式。
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