题目内容

(本题满分12分)

设函数

 (1)  如果且对任意实数均有,求的解析式;

 (2)  在(1)在条件下, 若在区间是单调函数,求实数的取值范围;

 (3)  已知为偶函数,如果,求证:

 

【答案】

(1);(2)的取值范围是

(3)

【解析】

试题分析: (1) 根据二次函数的函数值f(1)=0和函数值恒大于等于零得到及解析式。

 (2)  在(1)在条件下,要是函数单调递增,则根据对称轴与定义域的关系分类讨论得到。

 (3)  结合奇偶性的性质,以及函数单调性得到不等式的证明。

解(1)∵,∴(1分)

对任意实数均有恒成立,

即对任意实数均有恒成立(2分)

时,,这时,,它不满足恒成立(3分)

时,则

   ,(4分)

从而,∴(5分)

(2)由(1)知

=(6分)

在区间是单调函数

,即

的取值范围是(7分)

(3) ∵是偶函数,∴(8分)

,    (9分)

,∴当

中至少有一个正数,即都是正数或一个正数,一个负数

都是正数,则,所以(10分)

一个正数,一个负数,不妨设,又

=(11分)

综上可得,.(12分)

考点:本题主要考查了二次函数与分段函数的性质运用。

点评:解决该试题的关键是能通过解析式的特点以及二次函数的性质,来得到判别式小于等于零,从而得到解析式。

 

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