题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，底面△
是等腰直角三角形，
，
为侧棱
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得到
，根据直棱柱的几何性质证得
，由此证得
平面
.
（2）首先通过平移作出异面直线
与
所成的角（或其补角）.解法一，通过解直角三角形求得异面直线与所成的角的正切值，由此求得异面直线与所成的角的大小.解法二，利用余弦定理解三角形，求得异面直线与所成的角的余弦值，由此求得异面直线与所成的角的大小.
（1）因为底面△
是等腰直角三角形，且
，所以，，
因为
平面，所以，
又
，
所以，平面．
（2）取
点
，连结
、
，则∥
所以，
就是异面直线与所成角（或其补角）．
解法一：由已知，
，
，所以
平面，所以△
是直角三角形，且
，
因为
，
，所以，
，
所以，异面直线与
所成角的大小为
．
解法二：在△中，
，，，
由余弦定理得，
．
所以，异面直线与所成角的大小为．
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