Question

已知椭圆的焦点是F₁(-4，0)、F₂(4，0)，过F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10，椭圆上的不同两点A(x₁,y₁)、C(x₂,y₂)满足条件|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列.

(1)求椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.

Answer 1

(1)由椭圆定义及已知条件知2a=|F₁B|+|F₂B|=10，∴a=5.

又c=4，∴b²=a²-c²=9.

故椭圆方程为+=1.                                                   

(2)由点B在椭圆上，可知|F₂B|=|y_B|=，而椭圆的右准线方程为x=，离心率为，

由椭圆定义有|F₂A|=(-x₁)，|F₂C|=(-x₂).

依题意|F₂A|+|F₂C|=2|F₂B|.

则(-x₁)+(-x₂)=2×.

∴x₁+x₂=8.

设弦AC的中点为P(x₀，y₀)，则x₀==4,

即弦AC的中点的横坐标为4.                                              

(3)由A(x₁,y₁)，C(x₂,y₂)在椭圆上得

9x₁²+25y₁²=9×25，9x₂²+25y₂²=9×25.

两式相减整理得9()+25()()=0(x₁≠x₂).

将=x₀=4，=y₀，=-(k≠0)代入得

9×4+25y₀(-)=0,即k=y₀.

由于P(4,y₀)在弦AC的垂直平分线上，

∴y₀=4k+m,于是m=y₀-4k=y₀-y₀=-y₀.

而-＜y₀＜，∴-＜m＜