题目内容

已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，过右顶点A 的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B（-1，-3）．
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）若圆D：x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与直线lAB相切，求实数m的值．
分析：（1）根据椭圆的离心率，及B的坐标与几何量之间的关系，建立方程组，即可求得椭圆C和直线l的方程；
（2）化圆的一般方程为标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求得实数m的值．
解答：解：（1）由题意，
c
a
=
6
3
9
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+c2
，∴
a2=12
b2=4
，∴椭圆C的方程为
y2
12
+
x2
4
=1；
∵右顶点A（2，0），B（-1，-3）
∴直线l的方程为x-y-2=0；
（2）圆D：x2-2mx+y2+4y+m2-4=0的标准方程为：（x-m）2+（y+2）2=8
∵圆D：x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与直线lAB相切
∴
|m|
2
=2
2

∴m=±4
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线的方程，考查直线与圆相切，解题的关键是正确运用椭圆的几何性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2
2
．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围．
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．
（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；
（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且
MP
=3
PN
，求实数m的取值范围．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为椭圆C上的不同两点，已知向量
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．已知O为坐标原点，试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

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