题目内容
【题目】已知椭圆过点,且离心率为.过抛物线上一点作的切线交椭圆于,两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使得,若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)椭圆(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据已知条件列有关a、b、c的方程组,求出a和b的值,即可得出椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+t,先利用导数写出直线l的方程,于是得到k=2x0,,将直线l的方程与椭圆C1的方程联立,列出韦达定理,由并代入韦达定理,通过计算得出t的值,可得出x0的值,从而可得出直线l的方程.
(Ⅰ)由题知,得,
所以椭圆,
(Ⅱ)设的方程:,
由求导可得,的方程:,
故 . 由,得.
所以,
由题意可知:
即(4t2-4)(k2+1)-8k2t(t-1)+(t-1)2(4k2+1)=0,
化简有5t2-2t-3=0,所以t=1或t=,
,
此时,l方程:,经检验,直线l符合题意
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