Question

已知如图（1），正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足

CE

CA

=

CF

CB

，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．
（Ⅰ）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AB∥平面DEF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AB∥平面DEF内一直线平行即可，而根据比例关系可知AB∥EF；
（Ⅱ）过D点作DG⊥AC于G，连接BG，根据二面角平面角定义可知∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，∠BGD是二面角B-AC-D的平面角，在Rt△BDG中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）AB∥平面DEF．在△ABC中，
∵E、F分别是AC、BC上的点，且满足

CE

CA

=

CF

CB

=k，
∴AB∥EF．（2分）
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF．（5分）
（Ⅱ）过D点作DG⊥AC于G，连接BG，

∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角．（7分）
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC．
∴AC⊥平面BGD．∴BG⊥AC．
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角．（9分）
在ADC中，AD=a，DC=

3

a，AC=2a，
∴DG=

AD•DC

AC

=

3 a2

2a

=

3 a

2

．（11分）
在Rt△BDG中，tan∠BGD=

BD

DG

=

2 3

3

．（13分）

点评：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．