题目内容

（2009•宜昌模拟）已知数列{an}（n∈N*）满足：an=logn+1（n+2）（n∈N*），定义使a1•a2•a3•…•ak为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则区间[1，2009]内的企盼数共有
9
9
个．
分析：利用an=logn+1（n+2），化简a1•a2•a3…ak，得log2（k+2），设k（n）+2=2n+1，列出不等式可得区间[1，2009]内所有企盼数．
解答：解：an=logn+1（n+2），
a1•a2•a3•…•ak=log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2），
∵a1•a2•…•ak为整数，
设k（n）+2=2n+1，即k（n）=2n+1-2（n∈N*）
令1≤2n+1-2≤2009⇒1≤n≤9（n∈N*）
故答案为：9．
点评：本题考查的知识点是对数的性质，其中换底公式的推论logab•logbc=logac是解答本题的关键．
练习册系列答案
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（2009•宜昌模拟）设⊙O：x2+y2=
16
9
，直线l：x+3y-8=0，若点A∈l，使得⊙O上存在点B满足∠OAB=30°（O为坐标原点），则点A的横坐标的取值范围是
[0，
8
5
]
[0，
8
5
]
．
（2009•宜昌模拟）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
m
=（sinC+
3
+1，2sin
A+B
2
），
n
=（-1，
3
sin
A+B
2
），且
m
⊥
n
．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2
3
，c=2，求b．
（2009•宜昌模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，
Sn
n
)都在函数f（x）=x+1的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，b5+b100的值；
（3）设An为数列{
an-1
an
}的前n项积，若不等式An
an+1
＜f(a-1)-
3
2a
对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．
（2009•宜昌模拟）
2i
1-i
的共轭复数对应复平面内的点位于（　　）
（2009•宜昌模拟）当实数x、y满足不等式组
x≥0
y≥0
2x+y≤2
时，恒有ax+y≤3成立，则实数a的取值范围为（　　）

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