Question

经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E=kv³t，其中v为鲑鱼在静水中的速度，t为行进的时间（单位：h），k为大于零的常数．如果水流的速度为3km/h，鲑鱼在河中逆流行进100km．
（1）将鲑鱼消耗的能量E表示为v的函数；
（2）v为何值时，鲑鱼消耗的能量最少？

Answer 1

分析：（1）根据相对速度的定义，求出鲑鱼逆流行驶的速度为v-3，从而表示出鲑鱼鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间，再代入公式E=kv³t，即可求解；
（2）由（1）已经求出鲑鱼在逆流中消耗的能量E关于v的解析式，然后根据导数求出其最小值即可；

解答：解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t=

100

v-3

．   …（2分）
所以E=kv³t=kv³

100

v-3

=

100kv3

v-3

（v∈（3，+∞））．       …（6分）
（2）∵E=

100kv3

v-3

∴E′=100k 

3v2(v-3)-v3

(v-3)2

=100k

2v2(v-4.5)

(v-3)2

．        …（10分）
令E′=0，解得v=4.5或v=0（舍去）．
因为k＞0，v＞3，所以当v∈（3，4.5）时，E′＜0，
当v∈（4.5，+∞）时，E′＞0．
故E=

100kv3

v-3

在（3，4.5）上单调递减，在（4.5，+∞）上单调递增．…（13分）
所以，当v=4.5时，E取得极小值也是最小值．
即v=4.5km/h时，鲑鱼消耗的能量最小．             …（14分）

点评：此题一物理学为背景，其实质是利用导数求函数极值的应用，第一问要理解鲑鱼在静水中的速度和逆流中的速度之间的关系；第二问主要是正确对函数求导，本题难度中等；