Question

经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E=kv³t，其中v为鲑鱼在静水中的速度，t为行进的时间（单位：h），k为大于零的常数．如果水流的速度为3km/h，鲑鱼在河中逆流行进100km．则当鲑鱼消耗的能量最少时，v=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据相对速度的定义，求出鲑鱼逆流行驶的速度为v-3，从而表示出鲑鱼鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间，再代入公式E=kv³t，即可求出鲑鱼在逆流中消耗的能量E关于v的解析式，然后根据导数求出其最小值即可．
解答：解：鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t=．…（2分）
所以E=kv³t=kv³=（v∈（3，+∞））．…（6分）
∴E′=100k=100k．        …（10分）
令E′=0，解得v=4.5或v=0（舍去）．
因为k＞0，v＞3，所以当v∈（3，4.5）时，E′＜0，
当v∈（4.5，+∞）时，E′＞0．
故E=在（3，4.5）上单调递减，在（4.5，+∞）上单调递增．…（13分）
所以，当v=4.5时，E取得极小值也是最小值．
即当鲑鱼消耗的能量最少时，v=4.5km/h．
故答案为：4.5km/h．…（14分）
点评：本题以物理学为背景，其实质是利用导数求函数极值的应用，解题时要理解鲑鱼在静水中的速度和逆流中的速度之间的关系，正确对函数求导，合理地运用导数性质求函数的最小值．