题目内容
已知数列{an}前n项的和为Sn,前n项的积为Tn,且满足Tn=2n(1-n).①求a1;
②求证:数列{an}是等比数列;
③是否存在常数a,使得(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)对n∈N+都成立?若存在,求出a,若不存在,说明理由.
分析:(1)由“数列{an}前n项的和为Sn,前n项的积为Tn,且满足Tn=2n(1-n)”令n=1可求解.
(2)证明:由Tn=2n(1-n)解得T(n-1)=2(n-1)(2-n)两式相除,整理可得数列{an}是等比数列;
(3)由(2)求解得sn=
=
-
再求得sn+1=
-
,sn+2=
-
代入(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)两端验证可即可.
(2)证明:由Tn=2n(1-n)解得T(n-1)=2(n-1)(2-n)两式相除,整理可得数列{an}是等比数列;
(3)由(2)求解得sn=
1-(
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1-
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4 |
3 |
4(
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3 |
4 |
3 |
4(
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3 |
4 |
3 |
4(
| ||
3 |
代入(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)两端验证可即可.
解答:解:(1)∵数列{an}前n项的和为Sn,前n项的积为Tn,且满足Tn=2n(1-n).
∴a1=T1=21(1-1)=1
(2)证明:∵Tn=2n(1-n).
∴T(n-1)=2(n-1)(2-n).
将上面两式相除,
得:an=2[-2(n-1)].
∴an=
(n-1).
∵an+1=
(n).
=
∴数列{an}是等比数列;
(3)∵sn=
=
-
∴sn+1=
-
,sn+2=
-
∵(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)
∴(Sn+1-a)2=
而:(Sn+2-a)(Sn-a)=(Sn+2-
)(Sn-
)=
(Sn+1-
)2=(Sn+2-
)(Sn-
)对n∈N+都成立
即:存在常数a=
,使(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)对n∈N+都成立.
∴a1=T1=21(1-1)=1
(2)证明:∵Tn=2n(1-n).
∴T(n-1)=2(n-1)(2-n).
将上面两式相除,
得:an=2[-2(n-1)].
∴an=
1 |
4 |
∵an+1=
1 |
4 |
an+1 |
an |
1 |
4 |
∴数列{an}是等比数列;
(3)∵sn=
1-(
| ||
1-
|
4 |
3 |
4(
| ||
3 |
∴sn+1=
4 |
3 |
4(
| ||
3 |
4 |
3 |
4(
| ||
3 |
∵(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)
∴(Sn+1-a)2=
16[(
| ||
9 |
而:(Sn+2-a)(Sn-a)=(Sn+2-
4 |
3 |
4 |
3 |
16[(
| ||
9 |
(Sn+1-
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
即:存在常数a=
4 |
3 |
点评:本题主要考查数列的类型和数列的通项公式和前n项和公式,还考查了存在性问题,这类问题一般通过具体的探究出来,再证明.

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