题目内容

已知数列{an}前n项的和为Sn,前n项的积为Tn,且满足Tn=2n(1-n)
①求a1
②求证:数列{an}是等比数列;
③是否存在常数a,使得(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)对n∈N+都成立?若存在,求出a,若不存在,说明理由.
分析:(1)由“数列{an}前n项的和为Sn,前n项的积为Tn,且满足Tn=2n(1-n)”令n=1可求解.
(2)证明:由Tn=2n(1-n)解得T(n-1)=2(n-1)(2-n)两式相除,整理可得数列{an}是等比数列;
(3)由(2)求解得sn=
1-(
1
4
)
n
1-
1
4
=
4
3
-
4(
1
4
)
n
3
再求得sn+1=
4
3
-
4(
1
4
)
n+1
3
sn+2=
4
3
-
4(
1
4
)
n+2
3

代入(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)两端验证可即可.
解答:解:(1)∵数列{an}前n项的和为Sn,前n项的积为Tn,且满足Tn=2n(1-n)
∴a1=T1=21(1-1)=1
(2)证明:∵Tn=2n(1-n)
∴T(n-1)=2(n-1)(2-n)
将上面两式相除,
得:an=2[-2(n-1)]
∴an=
1
4
(n-1)
∵an+1=
1
4
(n)
an+1
an
=
1
4

∴数列{an}是等比数列;

(3)∵sn=
1-(
1
4
)
n
1-
1
4
=
4
3
-
4(
1
4
)
n
3

sn+1=
4
3
-
4(
1
4
)
n+1
3
sn+2=
4
3
-
4(
1
4
)
n+2
3

∵(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)
∴(Sn+1-a)2=
16[(
1
4
)
(2n+2)
]
9

而:(Sn+2-a)(Sn-a)=(Sn+2-
4
3
)(Sn-
4
3
)=
16[(
1
4
)
(2n+2)
]
9

(Sn+1-
4
3
2=(Sn+2-
4
3
)(Sn-
4
3
)对n∈N+都成立
即:存在常数a=
4
3
,使(Sn+1-a)2=(Sn+2-a)(Sn-a)对n∈N+都成立.
点评:本题主要考查数列的类型和数列的通项公式和前n项和公式,还考查了存在性问题,这类问题一般通过具体的探究出来,再证明.
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