Question

设a+b+c=1，a²+b²+c²=1且a＞b＞c．求证：-

1

3

＜c＜0．

Answer 1

分析：为了求证c的不等式，设法构造出一个关于c的不等关系，本题考虑到a²+b²与a+b的关系，构造出ab，最后利用方程有根的条件解决．

解答：证明：∵a²+b²+c²=1，
∴（a+b）²-2ab+c²=1．
∴2ab=（a+b）²+c²-1=（1-c）²+c²-1=2c²-2c．
∴ab=c²-c．
又∵a+b=1-c，
∴a、b是方程x²+（c-1）x+c²-c=0的两个根，且a＞b＞c．
令f（x）=x²+（c-1）x+c²-c，则

△＞0 1-c 2 ＞c?- 1 3 ＜c＜0 f(c)＞0.

；
即可得证．

点评：本题主要考查了不等式的证明，采用了构造法，是一道解法富有新意的题目．