Question

设A∪B∪C={1，2，3，4，5}，且A∩B={1，3}，符合此条件的（A、B、C）的种数（　　）

A．500

B．75

C．972

D．125

Answer 1

分析：分类讨论：若除了1，3之外，A∩B还包含了k个元素，k=0，1，2，3，先考虑符合条件的A、B的情况，再再考虑1，3以及那另外的k个元素是否在C中，即可求得结论．

解答：解：由题意，A∩B={1，3}，下面分类讨论．
若除了1，3之外，A∩B还包含了k个元素，k=0，1，2，3
①先看这k个元素，这k个元素是从剩下的{2，4，5}中选择出来的k个，有

C

k 3

种，每个这样的元素都是恰好属于A，B之一，有2^k种，所以，符合条件的A、B，就有

C

k 3

×2^k种方法；
②再考虑1，3以及那另外的k个元素是否在C中（其余的就不用考虑了，他们必然在C中），显然有2^k+2种方式．
综合①②，就知道这样的A，B，C的选法有

C

k 3

×2^k×2^k+2种．
k分别取0，1，2，3，可得4+48+192+256=500．
故选A．

点评：本题考查组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，正确分类是关键．