题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,
为棱
中点.
(1)求证: 平面
;
(2)若为
中点,
,试确定
的值,使二面角
的余弦值为
.
【答案】(I) 见解析; (II) .
【解析】试题分析:(1)证明线面垂直,一般利用线面垂直判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的寻找与论证,往往从两个方面进行,一是利用条件中的线面垂直性质定理得到线线垂直,二是利用平几知识,如等腰三角形性质得到线线垂直,(2)研究二面角的大小,一般方法为利用空间向量数量积,即先根据条件建立恰当的空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求出两法向量夹角,再根据二面角与两法向量夹角关系列方程,解出参数.
试题解析:(I)证明:∵底面
,
底面
,∴
,
又∵底面为矩形,∴
,
,
平面
,
平面
,
∴平面
,又
平面
,∴
,
,
为
中点,∴
,
,
平面
,
平面
,∴
平面
.
(II) 以为原点,以
为
轴正方向,建立空间直角坐标系
,令
,
则,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量
,
,即
,
设平面的法向量
,
,
即,
,解得
.
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