题目内容

下面有五个命题:
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π;
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=
2
,k∈Z};
③在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点;
④若cos2α=
1
2
,则α=2kπ±
π
6
(k∈Z);
⑤函数y=sin(x-
π
2
)在(0,π)上是减函数.
其中真命题的序号是
(写出所有真命题的编号)
分析:①先进行化简,再利用求周期的公式即可判断出是否正确;
②对k分奇数、偶数讨论即可;
③令h(x)=x-sinx,利用导数研究其单调性即可;
④利用终边相同的角的集合解出即可;
⑤利用诱导公式先进行化简,进而可判断出是否正确.
解答:解:①函数y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos2x,∴最小正周期T=
2
,∴函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π,故①正确;
②当k=2n(n为偶数)时,a=
2nπ
2
=nπ,表示的是终边在x轴上的角,故②不正确;
③令h(x)=x-sinx,则h(x)=1-cosx≥0,∴函数h(x)在实数集R上单调递增,故函数y=sinx与y=x最多只能一个交点,因此③不正确;
④∵cos2α=
1
2
,∴2α=2kπ±
π
3
,∴α=kπ±
π
6
(k∈Z),故④不正确;
⑤∵函数y=sin(x-
π
2
)=-cosx,又函数y=cosx在区间(0,π)上单调递减,∴函数y=sin(x-
π
2
)=-cosx在区间(0,π)是单调递增,故⑤不正确.
综上可知:只有①正确.
故答案为①.
点评:本题综合考查了三角函数的周期性、单调性、三角函数取值及终边相同的角,利用诱导公式进行化简和利用导数判断单调性是解题的关键.
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