Question

已知实数a满足1＜a≤2，设函数f （x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+ax．
（Ⅰ） 当a=2时，求f （x）的极小值；
（Ⅱ） 若函数g（x）=4x³+3bx²-6（b+2）x （b∈R） 的极小值点与f （x）的极小值点相同，求证：g（x）的极大值小于等于10．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a=2代入到解析式中，并求导．令f′（x）=0，求出极值点，并列表判断极大值极小值点．
（Ⅱ）一方面，利用（Ⅰ）的结论，找出f（x）的极小值点a，即为g（x）的极小值点．另一方面，对g（x）求导，求出极小值点-

b+2

2

．再建立等式，即a=-

b+2

2

，得到a，b的关系式．由a的范围算出极大值g（1）的范围，从而得证．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，f（x）的极小值为f（2）=

2

3

．
（Ⅱ）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
由于a＞1，
所以f（x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a、
而g′（x）=12x²+6bx-6（b+2）=6（x-1）（2x+b+2），
所以a=-

b+2

2

，
即b=-2（a+1）．
又因为1＜a≤2，
所以g（x）_极大值=g（1）
=4+3b-6（b+2）
=-3b-8
=6a-2≤10．
故g（x）的极大值小于等于10．

点评：在高中阶段，导数是研究函数性质的重要而有效的工具之一，包括函数的单调性，极值，最值等，本题就是利用导函数研究函数的极值．近两年的高考题中，对导数部分的考查是越来越常见，其重要性也不言而喻．