Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0；f（1）=-2．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并证明；
（3）求使2≤|f（x）|≤6成立的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）证明：令x=y=0，则有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）在定义域内任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
又∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R上为减函数．
（3）∵f（1）=-2，
∴根据题意可得：f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，
∴根据函数的奇偶性可得：f（-1）=-f（1）=2，f（-3）=6，
∵2≤|f（x）|≤6，
∴-6≤f（x）≤-2，或2≤f（x）≤6
∴f（3）=-6≤f（x）≤-2=f（1），f（-1）=2≤f（x）≤6=f（-3）
又∵f（x）是R上的减函数．
∴1≤x≤3或-3≤x≤-1，
∴x的取值范围为[-3，-1]∪[1，3]．
分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，再令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x），进而根据奇函数的定义得到函数的奇偶性．
（2）在定义域内任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0，再根据题意可得：f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，进而根据减函数的定义得到答案．
（3）根据题意可得：f（3）=-6，f（-1）═2，f（-3）=6，即可得到f（3）≤f（x）≤f（1），f（-1）≤f（x）≤f（-3），进而根据函数的单调性得到x的取值范围．
点评：本题只要考查是抽象函数的有关性质，如奇偶性、单调性与范围问题，以及函数性质的应用，解决此类问题的关键是灵活利用赋值法求函数值，以及灵活变形进而证明函数单调性并且利用函数的单调性解决问题，此题属于中档题．