Question

若正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为，则该棱柱的外接球的表面积为________．

Answer 1

36π
分析：根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．
解答：由正三棱柱的底面边长为3，
得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=，
又由正三棱柱的侧棱长为，则球心到圆O的球心距d=，
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，
满足勾股定理，我们易得球半径R满足：
R²=r²+d²=9，R=3，
∴外接球的表面积S=4πR²=36π．
故答案为：36π．
点评：本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．