题目内容
设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是
a+b+c≥0
a+b+c≥0
．分析：分析我们已经知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b），将（a+b）3与c3再次利用立方公式分解，从而因式分解a3+b3+c3-3abc，即可找出不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件．
解答：解析 a3+b3+c3-3abc
=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc
=[（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）
=
（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，
而a、b、c不全相等?（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2＞0，
∴a3+b3+c3≥3abc?a+b+c≥0．
故答案为：a+b+c≥0．
=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc
=[（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）
=
| 1 |
| 2 |
而a、b、c不全相等?（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2＞0，
∴a3+b3+c3≥3abc?a+b+c≥0．
故答案为：a+b+c≥0．
点评：此题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了立方公式的综合应用，说明公式是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
练习册系列答案
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设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，若M=（
-1）（
- 1）（
- 1），则必有（ ）
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
A、o≤M≤
| ||
B、
| ||
| C、1≤M＜8 | ||
| D、M≥8 |