Question

（2012•眉山二模）已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和数学书4本．现从甲、乙两层中各取两本书．
（1）求取出的4本书都是数学书的概率．
（2）求取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率．
（3）设ξ为取出的4本书中英语书本数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B，由于A、B相互独立，利用独立事件的概率公式可求；
（2）设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学”的事件为C，“从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本书中均为数学”的事件为D，由于C，D互斥，利用互斥事件的概率公式可求；
（3）确定ξ可能的取值，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答：解：（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B，由于A、B相互独立，记“取出的4本书都是数学书的概率”为P₁．
∴P₁=P（AB）=P（A）P（B）=

C 2 3

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

=

9

50

                           （3分）
（2）设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学”的事件为C，“从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本书中均为数学”的事件为D，由于C，D互斥，记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P₂．
P ₂=P（C+D）=P（C）+P（D）=

C 2 3

C 2 5

×

C 1 4

C 2 5

+

C 1 2 C 1 3

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

=

12

25

          （6分）
（3）由题意，ξ可能的取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=

9

50

，P（ξ=1）=

12

25

，P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 5

×

C 2 4

C 2 5

+

C 1 2 C 1 3

C 2 5

×

C 1 4

C 2 5

=

3

10

P（ξ=3）=

C 2 2

C 2 5

×

C 1 4

C 2 5

=

1

25

                                         （9分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	9 50	12 25	3 10	1 25

（10分）
Eξ=0×

9

50

+1×

12

25

+2×

3

10

+3×

1

25

=1.2                         （12分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．