Question

已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各条棱长均为3，∠BAD=60°．长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与共一个顶点D的三个面所围成的几何体的体积为

 

．

Answer 1

分析：确定P的轨迹以点D为球心，半径r=1的球，求出球的体积，说明P的轨迹（曲面）与共一个顶点D的三个面所围成的几何体的形状，求出它的体积．

解答：解：|MN|=2，则|DP|=1，则点P轨迹是以点D为球心，半径r=1的球，
则球的体积为V=

4

3

π•r3=

4π

3

，
∵∠BAD=60°∴∠ADC=120°=

1

3

•360°，
只取半球的

1

3

，则V=

4

3

π•

1

3

•

1

2

=

2π

9

.；
故答案为

2π

9

．

点评：本题考查组合体的体积，考查计算能力，空间想象能力，是创新题型．