Question

给定一个n项的实数列a1，a2，…，an(n∈N*)，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a₁，a₂，…，a_n变换为数列|a₁-c|，|a₂-c|，…，|a_n-c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N^*）次变换记为T_k（c_k），其中c_k为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T₁（c₁），T₂（c₂），…，T_k（c_k）为“k次归零变换”
（Ⅰ）对数列：1，2，4，8，分别写出经变换T₁（2），T₂（3），T₃（4）后得到的数列；
（Ⅱ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；
（Ⅲ）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据新定义，可计算经变换T₁（2），T₂（3），T₃（4）后得到的数列；
（Ⅱ）根据新定义，计算经变换T₁（4）；T₂（2）；T₃（1），或T₁（2）；T₂（2）；T₃（2）；T₄（1），可得结论；
（Ⅲ）记经过T_k（c_k）变换后，数列为

a

(k) 1

，

a

(k) 2

，…，

a

(k) n

．取c1=

1

2

(a1+a2)，c2=

1

2

(

a

(1) 2

+

a

(1) 3

)，继续做类似的变换，取ck=

1

2

(

a

(k-1) k

+

a

(k-1) k+1

)，（k≤n-1），经T_k（c_k）后，得到数列的前k+1项相等，再取cn=

a

(n-1) n

，经T_n（c_n）后，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：T₁（2）：1，0，2，6；T₂（3）：2，3，1，3；T₃（4）：2，1，3，1．…（3分）
（Ⅱ）解：方法1：T₁（4）：3，1，1，3；T₂（2）：1，1，1，1；T₃（1）：0，0，0，0．
方法2：T₁（2）：1，1，3，5；T₂（2）：1，1，1，3；T₃（2）：1，1，1，1；T₄（1）：0，0，0，0．
…（6分）
（Ⅲ）证明：记经过T_k（c_k）变换后，数列为

a

(k) 1

，

a

(k) 2

，…，

a

(k) n

．
取c1=

1

2

(a1+a2)，则

a

(1) 1

=

a

(1) 2

=

1

2

|a1-a2|，即经T₁（c₁）后，前两项相等；
取c2=

1

2

(

a

(1) 2

+

a

(1) 3

)，则

a

(2) 1

=

a

(2) 2

=

a

(2) 3

=

1

2

|

a

(1) 2

-

a

(1) 3

|，即经T₂（c₂）后，前3项相等；
继续做类似的变换，取ck=

1

2

(

a

(k-1) k

+

a

(k-1) k+1

)，（k≤n-1），经T_k（c_k）后，得到数列的前k+1项相等．特别地，当k=n-1时，各项都相等，最后，取cn=

a

(n-1) n

，经T_n（c_n）后，数列各项均为0．所以必存在n次“归零变换”．  …（13分）

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的探究能力，难度较大．