Question

【题目】已知函数．

(1)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值；

(2)求 的单调区间；

(3)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）； （2）①当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是．②当时， 的单调递增区间是和单调递减区间是.③当时， 的单调递增区间是．当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是；（3）

【解析】试题分析：（1）由导数的几何意义，根据曲线 ）在 和 处的切线互相平行，求得 值；
（2）求导后利用导函数的符号分， ， 四种情况讨论，求得单调区间；
（3）由题意得，若要命题成立，只须当 ]时， ．利用导数分别求得 的最大值，解不等式得出的取值范围．

试题解析　（1） ．(由 ，解得 .

(2)

①当 时，

在区间 上 在区间 上

故 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．

②当 时， >2，

在区间(0,2)和 上f′(x)>0；在区间 上

故的单调递增区间是(0,2)和(，＋∞)，单调递减区间是 .

③当 时，f′(x)＝ img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/17/cd495754/SYS201712291734522978924647_DA/SYS201712291734522978924647_DA.051.png" width="57" height="48" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

故的单调递增区间是(0，＋∞)．

④当 时，0< <2，

在区间 和(2，＋∞)上f′(x)>0；在区间 上f′(x)<0，

故的单调递增区间是 和(2，＋∞)，单调递减区间是 .

(3)由已知，在(0,2]上有

由已知，g(x)max＝0，由(2)可知，

①当a≤ 时，f(x)在(0,2]上单调递增，

故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2.

所以－2a－2＋2ln2<0，解得a>ln2－1.

故ln2－1<a≤ .

②当 时，f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，故 由 可知

所以

综上所述，