题目内容

已知函数f(x)=lg(
2a
1+x
-1)
(其中a>0).求证:
(1)用反证法证明函数f(x)不能为偶函数;
(2)函数f(x)为奇函数的充要条件是a=1.
证明:(1)假设函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),
lg(
2a
1-x
-1)
=lg(
2a
1+x
-1)
,即
2a
1-x
-1
=
2a
1+x
-1
,化简得:
4ax
1-x2
=0

∴a=0,与条件a>0矛盾,
∴函数f(x)不能为偶函数.…(7分)
(2)充分性:由a=1,函数f(x)=lg(
2
1+x
-1)
=lg
1-x
1+x

1-x
1+x
>0,∴-1<x<1,
又f(x)+f(-x)=lg
1-x
1+x
+lg
1+x
1-x
=lg1=0,
∴当a=1时,函数f(x)为奇函数.…(10分)
必要性:由函数f(x)为奇函数,即f(x)+f(-x)=0,
∴f(x)+f(-x)=lg(
2a-1-x
1+x
)
+lg(
2a-1+x
1-x
)
=0,化简得(2a-1)2=1,
∵a>0,∴a=1,
∴当函数f(x)为奇函数时,a=1.…(14分)
(注:必要性的证明也可由定义域的对称性得到a=1)
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