题目内容
17.椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的两个焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2为直角三角形,则点P到x轴的距离为$\frac{16}{5}$.分析 椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1,可得a,b,c,利用相互垂直的直线斜率乘积等于-1及其椭圆方程联立解出即可.当PF2⊥x轴或PF1⊥x轴时,把x=c=3代入椭圆的方程即可得出.
解答 解:椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1,可得a2=25,b2=16,c2=a2-b2=9,
①当∠F1PF2=90°时,设p(x,y),
则x2+y2=9,
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=9}\\{16{x}^{2}+25{y}^{2}=400}\end{array}\right.$,可得方程组无解;
②当PF2⊥x轴或PF1⊥x轴时,
把x=c=3代入椭圆的方程可得:$\frac{9}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1,
解得y=±$\frac{16}{5}$,
可得点P到x轴的距离是$\frac{16}{5}$.
故答案为:$\frac{16}{5}$.
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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