题目内容

精英家教网某超市为促销商品,特举办“购物有奖100%中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元,享受一次摇奖机会,购物满20元,享受两次摇奖机会,以此类推.摇奖机的结构如图所示,将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落、小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中,落入A袋为一等奖,奖金为2元,落入B袋为二等奖,奖金为1元、已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是
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(Ⅰ)求摇奖两次,均获得一等奖的概率;
(Ⅱ)某消费者购物满20元,摇奖后所得奖金为X元,试求X的分布列与期望;
(Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动(打折后不再享受摇奖),某消费者刚好消费20元,请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算.
分析:本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列与数学期望,
(1)记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件B,则易得P(A)=
1
4
,P(B)=
3
4
,则获得两次一等奖的概率P=P(A)•P(A),代入即可得到答案.
(2)消费者购物满20元,摇奖后所得奖金为X元,X可以取2,3,4,分类讨论并计算出P(X=2),P(X=3),P(X=4)的值后,即可得到随机变量X的分布列,进而求出数学期望.
(3)我们可以分别计算,刚好消费20元时,八八折能节省的钱数,及抽奖能节省的钱数,比较后即可得到答案.
解答:解:记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件B,则小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故P(A)=(
1
2
)3+(
1
2
)3=
1
4
P(B)=1-P(A)=
3
4
.
(2分)
(I)获得两次一等奖的概率为P=P(A)•P(A)=
1
16
.(4分)
(II)X可以取2,3,4
P(X=2)=(
3
4
)2=
9
16

P(X=3)=
C
1
2
1
4
×
3
4
=
6
16

P(X=4)=(
1
4
)2=
1
16
.
(8分)
分布列为:
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所以E(X)=2×
9
16
+3×
6
16
+4×
1
16
=2.5.(10分)
(Ⅲ)参加摇奖,可节省2.5元,打折优惠,可节省2.4元,当然参加摇奖.(12分)
点评:本小题主要考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,要想计算一个事件的概率,首先我们要分析这个事件是分类的(分几类)还是分步的(分几步),然后再利用加法原理和乘法原理进行求解.对于概率要多练习使用列举法表示满足条件的基本事件个数.对于数学期望的计算则要熟练掌握运算方法和步骤.
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