Question

给出命题：
①函数y=2sin(

π

3

-x)-cos(

π

6

+x)(x∈R)的最小值等于-1；
②函数y=sinπxcosπx是周期为2的奇函数；
③函数y=sin(x+

π

4

)在区间[0，

π

2

]上是单调递增的；
④函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

在（2008，+∞）上恒有f(x)＞

1

2

．
则正确命题的序号是

①

．

Answer 1

分析：利用诱导公式化简①求出函数的最小值判断正误即可；利用二倍角公式化简②求出函数的周期判断正误；区间内求出函数的最值，即可判断③的正误；求出函数的最小值判断④的正误．

解答：解：对于①，函数y=2sin(

π

3

-x)-cos(

π

6

+x)(x∈R)
所以y=2sin(

π

3

-x)-sin(

π

3

-x)
=-sin(x-

π

3

)，所以函数的最小值为：-1，所以①正确．
对于②，函数y=sinπxcosπx
=

1

2

sin2πx，函数的周期为：1，
所以②不正确．
对于③，函数y=sin(x+

π

4

)在区间[0，

π

2

]，当x=

π

4

时函数取得最大值，
所以③不正确．
对于④，函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

在（2008，+∞），?sn²x=0，而-(

2

3

)|x|＜0，所以f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

＜

1

2

，所以④不正确．
故答案为：①．

点评：本题考查三角函数的周期的求法，三角函数的最值以及三角函数的单调性的应用，考查计算能力．