题目内容

9.已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[0,3].
(1)当a=1,求f(x)在定义域[0,3]上的最值;
(2)当a∈R时,求f(x)在定义域[0,3]上的最小值;
(3)若a∈R,求f(x)在定义域[0,3]上的最大值.

分析 (1)先求出函数的对称轴,得到函数的单调区间,从而求出函数的最值;
(2),(3)先求f(x)的对称轴为x=a,讨论a和区间[0,3]的关系,对于每种情况根据二次函数f(x)在[0,3]上的单调性,或取到顶点值,或比较端点值,这样即可得出每种情况下的函数f(x)的最大值和最小值.

解答 解:(1)a=1时:f(x)=(x-1)2+1,
对称轴x=1,函数f(x)在[0,1)递减,在(1,3]递增,
∴f(x)最小值=f(1)=1,f(x)最大值=f(3)=5;
(2)f(x)的对称轴为x=a;
①若a≤0,则f(x)在[0,3]上单调递增;
∴f(x)的最小值为f(0)=2;
②若0<a<3,则f(a)=-a2+3是f(x)的最小值;
③若a≥3,则f(x)在[0,3]上单调递减,
∴f(x)的最小值为f(3)=12-6a;
(3)f(x)的对称轴为x=a;
①若a≤0,则f(x)在[0,3]上单调递增;
∴f(x)的最大值为f(3)=12-6a;
②0<a≤$\frac{3}{2}$时,f(3)=12-6a为f(x)的最大值;
③$\frac{3}{2}$<x<3时,f(0)=2f(x)的最大值;
④若a≥3,则f(x)在[0,3]上单调递减;
∴f(x)的最大值为f(0)=2.

点评 考查二次函数的对称轴的求解公式,二次函数的单调性,以及根据单调性求函数的最大值、最小值,根据取得顶点的情况或比较端点值来求二次函数最值的方法,要熟悉二次函数的图象.

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