Question

如果关于x的方程ax+

1

x2

=3有且仅有一个正实数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、{a|a≤0或a=2}
• C、（0，+∞）
• D、{a|a≥0或a=-2}

Answer 1

分析：先将“ax+

1

x2

=3有且仅有一个正数解”转化为“f（x）=ax³-3x²+1的图象与x正半轴有且仅有一个交点”，然后对函数f（x）进行求导，根据导数的正负判断函数的单调性并求出极小值，进而求解即可．

解答：解：∵x≠0，
所以ax+

1

x2

=3与ax³-3x²+1=0的解完全相同（易知0不是后一个方程的解）
令f（x）=ax³-3x²+1
则“ax+

1

x2

=3有且仅有一个正数解”与“f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点”等价．
∵f'（x）=3x（ax-2）
当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解

3

3

；
当a＞0时，令f'（x）＞0，f'（x）＜0，
得f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上单调递增，在（0，

2

a

）上单调递减，
f（0）=1，知若要满足条件只有x=

2

a

时f（x）取到极小值0．
x=

2

a

代入原方程得到正数解a=2；
当a＜0时，同理f（x）在（-∞，

2

a

）和（0，+∞）上单调递增，在（

2

a

，0）上单调递减，
f（0）=1＞0，所以此时不存在满足条件的a
故实数a的取值范围是（0，+∞）
故选C．

点评：本题主要考查根的存在性和区间的判定、根据导数的正负判断函数的单调性问题．考查基础知识的综合运用．