Question

已知f(x)=x²+c,且f［f(x)］=f(x²+1)

(1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；

(2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数.

Answer 1

(1) f(x)= (x²+1)²+1 (2) 当λ=4时，φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，在(－1,0)上是增函数，即满足条件的λ存在

解析:

(1)由题意得f［f(x)］=f(x²+c)=(x²+c)²+c

f(x²+1)=(x²+1)²+c,∵f［f(x)］=f(x²+1)

∴(x²+c)²+c=(x²+1)²+c,

∴x²+c=x²+1,∴c=1

∴f(x)=x²+1,g(x)=f［f(x)］=f(x²+1)=(x²+1)²+1

(2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x⁴+(2－λ)x²+(2－λ)

若满足条件的λ存在，则φ′(x)=4x³+2(2－λ)x

∵函数φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，

∴当x＜－1时，φ′(x)＜0

即4x³+2(2－λ)x＜0对于x∈(－∞,－1)恒成立

∴2(2－λ)＞－4x²,

∵x＜－1,∴－4x²＜－4

∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4

又函数φ(x)在(－1,0)上是增函数

∴当－1＜x＜0时，φ′(x)＞0

即4x²+2(2－λ)x＞0对于x∈(－1,0)恒成立

∴2(2－λ)＜－4x²,

∵－1＜x＜0,∴－4＜4x²＜0

∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4