题目内容
【题目】已知,函数
.
(1)若关于的方程
的解集中恰有一个元素,求
的值;
(2)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过
,求
的取值范围.
【答案】(1)或
.(2)
【解析】
(1)代入解析式表示出方程并化简,对二次项系数分类讨论与
,即可确定只有一个元素时
的值;
(2)由对数函数性质可知函数在区间
上单调递减,由题意代入可得
,化简不等式并分离参数后构造函数,利用函数的单调性求出构造函数的最值,即可求得
的取值范围.
(1)关于的方程
,
代入可得,
由对数运算性质可得,化简可得
,
当时,代入可得
,解得
,代入经检验可知,
满足关于的方程
的解集中恰有一个元素,
当时,则
,解得
,
再代入方程可解得,代入经检验可知,
满足关于的方程
的解集中恰有一个元素,
综上可知,或
.
(2)若,对任意
,函数
在区间
上单调递减,
由题意可知,
化简可得,即
,所以
,
令
,
当时,
,当
时,
,设
,
设,
,
,
所以在
是增函数,
,
,
则的取值范围为
.
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