Question

若不等式2^x-log_ax＜0，当x∈（0，

1

2

）时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：要使不等式2^x＜log_ax在x∈（0，

1

2

）时恒成立等价于函数y=log_ax的图象在（0，

1

2

）内恒在函数y=2^x图象的上方，由此能求出a的取值范围．

解答：解：要使不等式2^x＜log_ax在x∈（0，

1

2

）时恒成立，
即函数y=log_ax的图象在（0，

1

2

）内恒在函数y=2^x图象的上方，而y=2^x图象过点（

1

2

，

2

）．
由log_a

1

2

≥

2

，知0＜a＜1，
∴函数y=log_ax递减．
又∵loga

1

2

≥

2

=logaa

2

，
∴a

2

≥

1

2

，∴a≥（

1

2

） 

2

2

，
∴所求的a的取值范围是（

1

2

） 

2

2

≤a＜1．

点评：本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．