题目内容
（2011•新余二模）18、在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点，
| PE |
| PC |
分析：（1）由题设条件可证得DP，DA，DC三线两两垂直，故可以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，按题中所给的条件，给出各点的坐标，求出直线BC的方向向量以及平面PBD的法向量，由数量积为0证明线面垂直．
（2）由（1）中的坐标系，及E为侧棱PC上一点，
=λ
，给出用参数表示的点E的坐标，求出两个平面EBD与平面PBD的法向量，由公式用参数表示出二面角的余弦值，再令其值是45°的余弦值，解出其参数值即可．
（2）由（1）中的坐标系，及E为侧棱PC上一点，
| PE |
| PC |
解答：
解：（1）证明：平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分）
=(1，1，0)，
=（-1，1，0）．
所以
•
=0，BC⊥DB，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又BD∩PD=D
所以BC⊥平面PBD．（8分）
（2）平面PBD的法向量为
=（-1，1，0），
=(0，2，-1)，
=λ
，λ∈（0，1），所以E（0，2λ，1-λ），
设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），
=(1，1，0)，
=（0，2λ，1-λ）
由n•
=0，n•
=0，得所以，
∴
=(-1，1，
)，（10分）
由cos
=
解得λ=
-1（12分）
（用传统方法解得答案酌情给分）
解：（1）证明：平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分）
| DB |
| BC |
所以
| BC |
| DB |
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又BD∩PD=D
所以BC⊥平面PBD．（8分）
（2）平面PBD的法向量为
| BC |
| PC |
| PE |
| PC |
设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），
| DB |
| DE |
由n•
| DB |
| DQ |
|
∴
| n |
| 2λ |
| λ-1 |
由cos
| π |
| 4 |
| ||||
|
|
| 2 |
（用传统方法解得答案酌情给分）
点评：本题考查二面角的平面角的求法，本题解答用的是向量法，求解此类题，关键是掌握住向量公式与所求解问题的对应，建立合适的空间坐标系可以大大降低运算的难度，此种做法运算量较大，解题时要认真严谨，避免运算出错，导致解题失败．
练习册系列答案
相关题目