题目内容

下列函数中,最小正周期是π的函数是(  )
分析:判断这四个函数的最小正周期,需要逐一分析.A、D选项用三角函数对应的公式化为y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式.C与B选项用函数的图象的性质,求出四个函数的周期,得到结果.
解答:解:对于A,f(x)=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),其最小正周期T=2π;
对于B,f(x)=f(x)=|tan
x
2
|
,先去掉绝对值,利用正切的周期公式得到f(x)=tan
x
2
,其最小正周期T=2π;
加上绝对值后周期仍然是2π;
对于C,y=|sin2x|,y=sin2x的周期是π,加上绝对值以后周期为
π
2

对于D,f(x)=sin(x+
π
3
)cosx
=(
1
2
sinx+
3
2
cosx)cosx=
1
2
sin2x+
3
2
×
cos2x+1
2

=
1
4
sin2x+
3
4
cos2x+
3
4
=
1
2
sin(2x+
π
3
)+
π
4

∴函数的周期是T=
2

综上可知只有D选项的函数的周期是π
故选D.
点评:本题考查三角函数最小正周期的求法.根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T=
ω
,正切型最小正周期为T=
π
ω
,初次之外可以用图象法,定义法,公倍数法,对于具体问题得具体分析.求三角函数的周期,要注意函数的三角变换,得到可以利用三角函数的周期公式来求解的形式,本题是一个中档题目.
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