题目内容
【题目】如图四棱柱中,
,
,
,M为
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)若四边形是菱形,且面
面
,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点N,连接
,
,可证四边形
是平行四边形,可得
,进一步可证
平面
;
(2)证明,
,
两两垂直后,以A为原点,
,
,
所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系
,利用平面的法向量可求得结果.
(1)取的中点N,连接
,
,
∵M为的中点,∴
且
又,
,所以
且
,
所以四边形是平行四边形,
从而,又
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)取的中点P,连接
,
,
∵四边形为菱形,又
,易知
.
又面面
,面
面
,
∴平面
,
故,
,
两两垂直
以A为原点,,
,
所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系
(如图所示),不妨设
.
则,
,
,,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
由,得
,
可得平面的一个法向量
,
设平面的法向量为
,
由,得
,
可得平面的一个法向量
.
∴
所以二面角的余弦值为
.
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