Question

12．在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD=2BC，AB=PB，E为PA的中点．
（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点F，连接EF，CF．证明BE∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明BE∥平面PCD．
（2）证明PA⊥CF，结合PA⊥PD，利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD．然后证明平面PAB⊥平面PCD．

解答 证明：（1）取PD的中点F，连接EF，CF．因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，
因为BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，所以EF∥BC，EF=BC．
所以四边形BCFE为平行四边形．所以BE∥CF．…（4分）
因为BE?平面PCD，CF?平面PCD，所以BE∥平面PCD．…（6分）
（2）因为AB=PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．
因为BE∥CF，所以PA⊥CF．…（9分）
因为PA⊥PD，PD?平面PCD，CF?平面PCD，PD∩CF=F，所以PA⊥平面PCD．…（12分）
因为PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．…（14分）．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的在与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．